3. – 4. Schuljahr

Marcus Nührenbörger | Susannah Unteregge

Von Zahlenfolgen zu Aufgabenbeziehungen

Algebraische Gleichheitsbeziehungen im Kontext der Arithmetik

Beim Ausrechnen von Aufgaben kommt es manchmal vor, dass verschiedene Aufgaben das gleiche Ergebnis aufweisen. In diesem Beitrag werden Aufgaben in den Blick genommen, die zwar unterschiedlich aussehen, aber im engeren Sinne „gleich sind.Die Kinder sollen lernen, die mathematische Beziehung dieser Aufgaben näher zu erkunden, um somit ein sogenanntes algebraisches Gleichheitsverständnis zu entwickeln.

Die Aufgabe in Abb. 1 ist Teil einer Lernumgebung zum Aufgabenformat Zahlenfolgen: Die drei abgebildeten Folgen wurden aus der Startzahl 87 gebildet, zu der jeweils die vorne angegebene Pluszahl (+6), (+9), (+12) wiederholt hinzuaddiert wird. Allerdings wurden nicht die Ergebnisse notiert, sondern die jeweiligen Aufgaben. Arbeitsauftrag für die Kinder ist es, abwechselnd zueinander passende Aufgaben zu markieren.
Nachdem Christopher das Aufgabenfeld „87+6+6markiert hat, und Fabian an der Reihe ist, eine passende, gleichwertige Aufgabe in den anderen Zahlenfolgen zu finden, prophezeit er: „Wenn der Fabian jetzt den Durchblick hat, dann weiß er auch die passende Aufgabe. Fabian berechnet daraufhin zunächst das Ergebnis der Aufgabe „87+6+6 und dann mühevoll weitere Ergebnisse in der Hoffnung, dasselbe Resultat noch einmal zu ermitteln. Als er so das Feld „87+12 ausfindig macht und seinen schrittweisen Rechenweg (87+10+2) erklärt, kommentiert Christopher: „Aber es gibt noch eine Möglichkeit. Du hast hier unten ja eine Zwölf stehen und hier oben zwei Sechsen und sechs und sechs sind zwölf.
Als Fabian das nächste Mal an der Reihe ist, eine passende Aufgabe zu finden jetzt zum Aufgabenfeld „87+6+6+6+6+6+6 kommt seine Antwort sofort: „Ja dann muss ich die nehmen, ich hab jetzt den Durchblick! Er markiert das Feld„87+12+12+12 und erklärt, wie er in den drei Zwölfen die sechs Sechsen sieht. Er nimmt also eine andere Sichtweise auf die Aufgaben ein und erkennt, wie diese in Beziehung zueinander stehen anders formuliert: Er durchblickt die Gleichheit der Aufgaben, auch wenn diese nicht gleich aussehen.
Verschiedene Sichtweisen auf Gleichheiten
Im Zusammenhang mit dem Aufbau des Operationsverständnisses zu den vier Grundrechenarten wird das Gleichheitszeichen in der Regel als ein Zeichen eingeführt, das zwischen einer Aufgabe und ihrem Ergebnis steht: Links vom Gleichheitszeichen steht die Aufgabe und rechts ihr Ergebnis. Das Gleichheitszeichen drückt somit zum einen die Gleichheit zwischen dem Wert einer Aufgabe und einer Zahl aus, zum anderen kann es als Aufforderung zum Ausrechnen, zum Ermitteln eines Ergebnisses, interpretiert werden. Diese durchaus wichtige Deutung des Gleichheitszeichens wird bei der Erarbeitung von Operationsvorstellungen nach und nach gefestigt.
Gleichheit als Gleichwertigkeit
Allerdings wird ein weiterer wichtiger Aspekt des Gleichheitszeichens, die Bedeutung als Zeichen für Gleichheit bzw. Gleichwertigkeit, das angibt, dass auf beiden Seiten des Zeichens ein gleichwertiger Term steht, dabei oft vernachlässigt (vgl. Winter 1982). Dieses Wissen um die Beziehung einer Aufgabe zu gleichwertigen, aber einfacher zu lösenden Aufgaben, ist von entscheidender Bedeutung, wenn es darum geht, flexibel und möglichst geschickt zu rechnen (vgl. Wittmann & Müller 1990, Rathgeb-Schnierer 2014).
Weiterhin hat die Entwicklung eines erweiterten Gleichheitsverständnisses auch eine wichtige propädeutische Bedeutung: Im Algebraunterricht der Sekundarstufe wird das Gleichheitszeichen fast ausschließlich als Beziehungszeichen genutzt, das die Gleichwertigkeit zweier Terme angibt. Das Ziel liegt dabei nicht darin, wie bei typischen Rechenaufgaben der Grundschule, den Term vor oder hinter dem Gleichheitszeichen zu berechnen, was aufgrund des Variablengebrauchs auch gar nicht möglich ist (Bsp.: 3x+10 = 6x...

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