1. – 4. Schuljahr

Ralph Schwarzkopf

Erst einmal Rechnen lernen?

Von der Notwendigkeit algebraischen Denkensim Arithmetikunterricht

Algebraisches Denken ist integraler Bestandteil modernen Mathematikunterrichtsin der Grundschule und das nicht erst seit gestern. Es ist ein grundlegendes wie unerlässliches Hilfsmittel für die Durchdringung der Arithmetik. Dies zeigt der Beitragfür die Multiplikation, dargestellt mit den Mitteln der Arithmetik, anschaulich auf.

Ein moderner Mathematikunterricht unterscheidet sich von einem traditionellen Rechenunterricht u.a. darin, dass den eigenständigen Entdeckungen und den Begründungen der Kinder ein hoher Stellenwert zugewiesen wird. Vor allem geht es darum, typische algebraische Denkweisen zu etablieren, die einerseits anhand von konkreten Rechenbeispielen formuliert werden, anderseits aber schon über die Beispiele hinausgehende strukturelle Zusammenhänge verdeutlichen sollen. Wie kann das gelingen?
Diese Frage lässt sich nicht abschließend klären. Man kommt ihr aber näher, wenn man Mathematiklernen auf der Basis des operativen Prinzips versteht, dessen Kernstück sich wie folgt formulieren lässt: „Objekte erfassen bedeutet zu erforschen, wie sie konstruiert sind und wie sie sich verhalten, wenn auf sie Operationen ausgeübt werden (Wittmann 1985, 9).
Rechenoperationen als Objekte des Denkens
Auf den ersten Blick wird man davon ausgehen, dass die Rollen zwischen Operationen und Objekten im Arithmetikunterricht der Grundschule klar verteilt sind: Die Zahlen sind die Objekte, die zur Verfügung stehenden Operationen sind die vier Grundrechenarten. Sieht man dagegen genauer hin, dann besteht der Kern des frühen algebraischen Denkens aber gerade im Aufweichen dieser Rollenverteilung, d.h., die Operationen müssen „Objekte des Denkens (Steinweg 2013, S. 123) werden, wenn die Arithmetik mit algebraischer Qualität durchdrungen werden soll.
Dieser Ansatz eröffnet die Möglichkeit dafür, dass mit den „Hausmitteln des Arithmetikunterrichts durchaus algebraische Argumentationen entwickelt werden können, die man als „operative Beweise (vgl. Wittmann/Müller 1988) bezeichnet. Im Folgenden wird dies anhand der Einführung in die Multiplikation verdeutlicht.
Algebra als Grundlagefür Rechenstrategien
Zu Beginn der Auseinandersetzung mit der Multiplikation muss ein Verständnis von der Operation aufgebaut werden. Hierbei unterscheidet man bekanntlich zwei Aspekte voneinander (s. Information 1 ). Während der zeitlich-sukzessive Aspekt den dynamischen Charakter einer wiederholten Handlung widerspiegelt, geht es bei der Multiplikation im räumlich-simultanen Aspekt darum, dass eine Anzahl mehrfach vorhanden ist. Für eine algebraisch gehaltvolle Auseinandersetzung mit der Multiplikation ist es dabei sehr fruchtbar, die Vorstellung durch eine rechteckige Anordnung zu unterstützen. An dieser Darstellung lassen sich die Rechengesetze der Multiplikation besonders gut einsehen.
Bereits durch diese Darstellung wird algebraisches Denken initiiert: Das Produkt aus zwei Zahlen a und b wird als eine rechteckige Anordnung von a Zeilen mit jeweils b Plättchen dargestellt. Hierbei treten also die ursprünglichen Objekte, die einzelnen Zahlen, in den Hintergrund zugunsten eines neuen Blicks auf die strukturellen Eigenschaften der Multiplikation selbst: Die Multiplikationen werden zu eigenständigen Objekten, denen allen die rechteckige Gestalt gemein ist.
Aus dieser Darstellung lassen sich die drei algebraischen Rechengesetze der Multiplikation auf elementare Weise verdeutlichen (s. Information 2 ). Hier sind keine Variablen notwendig, sondern aussagekräftige Darstellungen von exemplarischen Produkten. Diese Beispiele werden dann im algebraischen Sinne allgemeingültig, weil man an ihnen nur Operationen durchführt, die man an allen Rechtecken durchführen kann ein Kernmerkmal operativer Beweise: Man betrachtet sie von verschiedenen Seiten, zerlegt sie in Rechtecke und setzt sie wieder zu...

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