2. – 3. Schuljahr

Elke Söbbeke | Frederike Welsing

Allgemein denkenmit konkretem Material?

Erforschen und Verallgemeinern mithilfe von Anschauungsmitteln

Kann man über etwas Allgemeingültiges nachdenken und kommunizieren, indem man ein konkretes Material benutzt? Der Beitrag verdeutlicht, wie Kinder beim Lösen von Rechenaufgaben durch eine gezielte Nutzung von Anschauungsmitteln unterstützt werden können, um über verallgemeinerbare Strukturen und Gesetzmäßigkeiten zu kommunizieren.

Der Titel dieses Beitrags lässt die Leserin oder den Leser vielleicht zunächst stutzig werden. Muss nicht das Betrachten, Handeln oder Zeigen sowie das Kommunizieren mit Materialien immer beschränkt sein auf konkrete Beispiele, die ich im wahrsten Sinne des Wortes „zu Grunde lege?
Wenn Kinder arithmetische Zusammenhänge in Rechenaufgaben erforschen und versuchen, ihre Entdeckungen zu begründen oder zu verallgemeinern, dann denken sie bereits in der Grundschule algebraisch. Anschauungsmittel können die Kinder hierbei altersgerecht und fachlich adäquat unterstützen.
Anschauungsmittel zum Entdecken, Begründen und Verallgemeinern
Anschauungsmittel sind nicht nur Rechenhilfsmittel zum Lösen von Aufgaben, vielmehr stellen sie auch Denkwerkzeuge sowie inhaltlich-anschauliche Beweismittel dar. Sie repräsentieren arithmetische Strukturen und ermöglichen es so schon Kindern in der Grundschule über Gesetzmäßigkeiten nachzudenken und zu sprechen (vgl. Söbbeke/Nührenbörger 2016, 12).
Unter inhaltlich-anschaulichen Beweisen versteht man „Konstruktionen und Operationen, von denen intuitiv erkennbar ist, dass sie sich auf eine ganze Klasse von Beispielen anwenden lassen und bestimmte Folgerungen nach sich ziehen (Müller/Wittmann 1988, 249). Ein solch intuitives Erkennen muss mit den Kindern aber im Unterricht entwickelt werden, da hierfür wie der nachfolgende Abschnitt am Beispiel von Gesetzmäßigkeiten zur Addition zweier ungerader Zahlen verdeutlicht eine besondere und vielleicht neue Deutung der Materialien notwendig ist.
Addition zweier ungerader Zahlen
Die strukturellen Eigenschaften ungerader Zahlen sowie die Beziehungen zwischen zwei ungeraden Zahlen und deren Summe lassen sich durch transparente Materialkarten mit entsprechenden Punkteanordnungen repräsentieren (s. Abb. 1 ).
Sollen diese konkreten Materialien für die Kinder als Mittel zur Begründung und Verallgemeinerung von Gesetzmäßigkeiten bei der Addition zweier ungerader Zahlen genutzt werden, dürfen nicht die konkreten Eigenschaften der Kärtchen im Mittelpunkt stehen (z.B. die genaue Punkteanzahl). Vielmehr sind die Beziehungen und Strukturen zwischen den Punkten wichtig. So übernimmt die Anordnung der Punkte eine wichtige exemplarische Funktion: Durch die Darstellung der Punkte als Doppelreihe wird unabhängig von der konkreten Punkteanzahl veranschaulicht, dass gerade Zahlen ohne Rest durch 2 teilbar sind und dass bei ungeraden Zahlen bei Division durch 2 immer der Rest „Eins entsteht.
Ein handelnder Umgang mit den Punktmustern, z.B. das Sortieren oder Zusammenschieben der Karten, kann Verständnisprozesse für diese mathematischen Zusammenhänge anregen: Durch das Zusammenschieben der einzelnen Karten lassen sich immer die zwei Einzelpunkte übereinander schieben, so dass wieder eine Doppelreihe und damit eine gerade Zahl entsteht.
Auf diese Weise kann das Handeln und Nachdenken mit den transparenten Punktekarten die Kinder 1.) bei der Generierung erster Begründungsideen unterstützen. Hierdurch kann 2.) verdeutlicht werden, dass die Begründungsideen auf verschiedene Beispiele übertragbar sind, da die strukturellen Merkmale gleich bleiben. Das Vergleichen mehrerer Beispiele regt dann 3.) zu einem Deuten übergeordneter Beziehungen innerhalb und zwischen den verschiedenen Punktmustern an und stellt einen notwendigen Schritt im Prozess des Verallgemeinerns dar (im Sinne inhaltlich-anschaulicher Beweise).
Durch das konkrete Material kann somit ein erstes...

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